Paradoxe

Le paradoxe c’est quoi ? 

Un paradoxe est un énoncé ou un raisonnement qui prouve à la fois la vérité et le mensonge d’une certaine phrase (ou à la fois son énoncé et sa négation), exprimés par des moyens formels logiques (hypothèses) qui semblent acceptables (logiquement correctes), mais conduisent à un résultat volontairement inacceptable (contradiction). En raison d’une certaine imprécision ou relativité du sens du terme « preuve » et de ses dérivés, la notion de « paradoxe », à son tour, s’avère également vague et ne dénote pas toujours une contradiction « absolue » au sens le plus strict du terme, c’est-à-dire la contradiction dans l’obtention de laquelle aucune hypothèse initiale n’est utilisée. Ainsi, le concept de « paradoxe » permet des significations multiples, ce qui conduit à sa large application dans des contextes différents avec les significations principales suivantes :

• Une déclaration ou un raisonnement formellement correct qui n’est pas conforme à l’opinion généralement acceptée, la croyance dominante, nie ce qui semble être « inconditionnellement correct » (compréhension extra-logique du paradoxe) ;
• une contradiction logique dont il est impossible de sortir (une situation insoluble dans le raisonnement) ;
• déclaration ou raisonnement contenant deux déclarations opposées, chacune ayant des arguments convaincants, ce qui conduit à des conclusions mutuellement exclusives qui ne peuvent être attribuées ni au vrai ni au faux (antinomie, définie dans la logique comme la forme la plus abrupte du paradoxe) ;
• ou raisonnement conduisant à deux conclusions opposées mais équivalentes (aporie) ;
• une forme implicite et incontestée de manifestation de la situation problématique.

Les paradoxes jouent un rôle particulier dans la logique (voir Logique) et la science (voir Science), témoignant du fait que les méthodes habituelles de la pensée théorique ne permettent pas en elles-mêmes une progression fiable vers la vérité.

La première problématisation logique du concept de paradoxe remonte à l’Antiquité. Dans l’héritage d’un certain nombre d’écoles philosophiques grecques anciennes, il existe un certain nombre d’exemples de raisonnement qui, s’ils semblent corrects, conduisent à des conclusions qui ne concordent pas avec ces expériences et croyances de bon sens. Les paradoxes de l’école Elijah sont des arguments visant à protéger la thèse de ses représentants sur l’illusivité du mouvement ; ils ne contiennent pas de difficultés logiques et sont construits sur une mauvaise interprétation des concepts de temps et de mouvement. Contrairement aux paradoxes spéculatifs des éléats, les paradoxes de l’école Megar reflètent des problèmes logiques. Le paradoxe « Menteur », attribué au méga-ric Eubulide de Milet (IVe siècle av. J.-C.), a été formulé par Aristote dans son ouvrage « Les refus sophistiques ». (vers 355 av. J.-C.) sous forme de question : « Mente-t-il quand il dit qu’il ment ? » Ce paradoxe est une variante quelque peu renforcée et plus correcte du même paradoxe que celui du philosophe crétois Épimenidus de Knossos (VIIe ou VIe siècle av. J.-C.) : « Tous les Crétois sont des menteurs ». Supposons que l’Épiménide disait la vérité. Dans ce cas, il faut admettre que tous les Crétois, y compris l’Épiménide crétois, sont effectivement des menteurs. Mais si Épiménide est un menteur, alors il dit la vérité et l’affirmation « Tous les Crétois sont des menteurs » est fausse. Supposons que l’Épiménide ait menti. Dans ce cas, sa déclaration doit être considérée comme fausse. De la vérité de l’affirmation « Il n’est pas vrai que tous les Crétois sont des menteurs » nous pouvons conclure que certains Crétois ne mentent pas, y compris Épimenide, parce que nous évaluons la seule affirmation prononcée par un Crétois dans un laps de temps limité. Fait intéressant, le paradoxe « Menteur » a fait une telle impression sur les contemporains d’Euboulid qu’il y a une légende qu’un certain Philith du Kosovo, désespéré de résoudre ce paradoxe, s’est suicidé, et le philosophe Diodor Kronos, jurant de ne pas manger avant de trouver une solution au « Menteur », mort, et non de résoudre le problème. D’autres paradoxes similaires sont également attribués à Eubulida par tradition. Ainsi, le paradoxe « Pile » formule la question : « Si vous ajoutez un grain à la fois, à partir de quand apparaîtra le tas, et est-ce que cela signifie que le tas se forme suite à l’ajout d’un grain ? – Un grain n’est pas un tas. Si vous ajoutez un autre grain, ce n’est pas une pile non plus. Alors, où commence le comptage du grain ? Le paradoxe « Chauve » formule une question : « Si les cheveux tombent de la tête un par un, d’où une personne devient chauve par le compte des cheveux perdus ?

Ces paradoxes touchent à un problème qui, du point de vue de la logique moderne, peut être formulé sous la forme d’une question : existe-t-il un nombre fixe d’éléments, à partir desquels commence la transition d’un état à un autre ? Les difficultés de dénomination liées à la présence dans le langage commun de nombreux noms, dont le contenu et le volume ne sont pas suffisamment clairs, ne permettent pas de décider s’ils sont applicables ou non à cet objet. Les paradoxes tels que « Hidden », « Covered », « Electra » sont les variations d’un paradoxe : Elettra sait-elle que son frère Orest est son frère ? Bien sûr qu’elle le sait. Mais Orest est couvert d’une couverture, et Elektra ne sait pas que la personne couverte est son frère. Par conséquent, Elektra ne sait pas qui elle connaît. Ce paradoxe enregistre la présence dans le langage ordinaire de ces formes logiques, que l’on appelle fonctions intensives. Dans cet exemple, il s’agit d’un contexte intensif avec le prédicat « X sait que… ». L’application du principe du remplacement d’un nom par un nom de volume égal conduit à des antinomies. Le volume (extensif) du nom d’unité « Orest » coïncide avec le volume du nom d’unité « cette personne couverte » à la différence de contenu (intensif). Les paradoxes de ce type reflètent des difficultés dans le domaine de la sémantique logique. A son tour, le paradoxe bien connu « Horned », attribué au méga-mégalomane Alexin – figure insignifiante dans l’histoire de la logique – appartient à la catégorie des sophismes : « Ce que vous n’avez pas perdu, alors vous l’avez. Vous n’avez pas perdu vos cornes. Par conséquent, vous les avez.

Le célèbre paradoxe « Protagor et Evatl » et ses versions telles que « Crocodile et Mère », « Sancho Panza » et autres se distinguent. Selon la légende, la philosophe-sophie Protagor (Vème siècle av. J.-C.) aurait signé un contrat avec son disciple Evatl : Evatl, étudiant en droit, ne doit payer ses études que s’il gagne son premier procès. Après avoir terminé ses études, Evatl n’a cependant pas participé à la procédure. Le protagoniste l’a poursuivi en justice, arguant ainsi de sa revendication : « Quel que soit le résultat du procès, Evatl devra payer. Il gagnera son premier procès ou perdra. S’il gagne, il paiera en vertu du contrat. S’il perd, il paiera selon la décision du tribunal. Evatl a répondu : « Si je gagne, la décision du tribunal me libère de l’obligation de payer. Si le tribunal n’est pas en ma faveur, cela signifiera que j’ai perdu mon premier procès et que je ne paierai pas en vertu du contrat. Si par la solution de ce différend nous entendons la réponse à la question de savoir si Evatl doit ou non payer le Protagoniste, il est évident que le différend est insoluble. L’accord entre l’enseignant et l’étudiant est contradictoire en interne et nécessite la réalisation d’une position logiquement impossible : Evatl doit à la fois payer les frais de scolarité et ne pas les payer en même temps.

Dans l’Antiquité, les paradoxes mathématiques ont également été résolus. Les mathématiciens de la Grèce antique ont été confrontés à une situation paradoxale pour eux – l’incommensurabilité des figures géométriques : il a été prouvé que le côté du carré avec le côté égal à un est incommensurable avec sa diagonale, comme exprimé par un nombre irrationnel, qui est une fraction non périodique infinie. La découverte de l’incommensurabilité des segments n’était pas cohérente avec l’opinion, par exemple, des Pythagoriciens, qui croyaient que deux segments avaient une mesure numérique commune (un multiple commun), même si elle était très petite. Le système des nombres rationnels est un axe numérique densément « blanket », et il a été supposé qu’il n’y avait pas de place pour de tels nombres, qui ont été appelés plus tard irrationnel.

La théorie des paradoxes sémantiques, ou insolubilies (du latin insolubiliis), a été intensément développée au Moyen Âge. A. Saxonsky et J. Bouridan ont apporté une contribution significative au développement de ce problème.

А. Saxonsky a analysé de nombreux paradoxes sémantiques. Par exemple, « Socrate affirmait : « L’homme est un animal ». Platon a dit : « Seul Socrate dit la vérité. Nous devons déterminer si Platon disait la vérité. L’analyse constructive a permis à A. Saxonsky de construire une situation paradoxale. Si nous supposons que Platon disait la vérité, alors seulement la déclaration de Socrate, mais pas celle de Platon, devrait être reconnue comme vraie. Alors Platon a menti. Si l’hypothèse contraire – la fausseté de l’affirmation de Platon – est faite, au moins une déclaration devrait être reconnue comme vraie, mais pas une déclaration de Socrate. Sur la base de ce raisonnement, cela ne peut être que la déclaration de Platon. Platon dit donc la vérité.

Ж. Bouridane analyse en particulier la déclaration paradoxale, ou insularité, suivante : « Tout ce qui est écrit dans ce folio est faux. En même temps, rien d’autre n’est écrit dans ce folio. La procédure pour déterminer la signification logique de cet énoncé – vrai ou faux – représente une situation paradoxale. Si nous supposons que c’est vrai, nous devrions admettre que c’est faux, parce que c’est écrit dans ce folio. Après avoir fait une supposition sur la fausseté de la déclaration, il est nécessaire d’en reconnaître la véracité. Il y a une contradiction formelle.

La discussion du problème des paradoxes construits dans le cadre du formalisme à deux chiffres a été très animée dans la logique scolaire. A. Saxonsky croyait que la nature de telles antinomies n’avait pas un caractère logique, mais linguistique et psychologique. I.M. Scott a systématisé la variété formelle des opinions sur les raisons des paradoxes, les réduisant à trois approches principales :

1. Le rejet
2. limitation ;
3. solution

Dans la première approche, l’insularité n’est pas considérée comme une affirmation, car les catégories « vrai » et « faux » ne lui sont pas appliquées et sont considérées comme dénuées de sens.

Un exemple typique de la deuxième approche restrictive est le programme U. Parfois, le paradoxe est que les termes utilisés pour désigner les énoncés sont parfois utilisés pour désigner les mêmes énoncés dont ils font partie. Le point de vue d’Occam se réduit à l’interdiction des définitions réversibles (circulaires), c’est-à-dire qu’il n’est pas permis d’utiliser de telles constructions linguistiques dans lesquelles la déclaration elle-même fait directement appel à son propre mensonge (donc non prouvé). Guidé dans la résolution du problème des paradoxes par son fameux « rasoir » (« il ne faut pas multiplier les entités au-delà de la nécessité »), OKKAM considère que sa propre solution du problème est extrêmement générale : en accomplissant la prescription de l’antinomie, personne ne surgit. Mais Buridan a déjà montré que même si l’on suit la méthode Occam – l’absence de recours direct à sa propre fausseté – des paradoxes peuvent apparaître, par exemple, dans le prochain système de parcelles :

• l’homme est un animal ;
• seule la première affirmation est vraie ;
• les première et deuxième déclarations sont les seules

Il a proposé une troisième approche fondée sur la distinction entre deux types d’énoncés paradoxaux :

• « une réflexion directe » (par exemple dans le paradoxe du « Menteur » d’Eubulid) ;
• « réflexion indirecte  » (p. ex. le deuxième énoncé dans le système de parcelles ci-dessus).

Bouridane a suggéré deux façons d’éliminer les paradoxes sémantiques :

1. attribuer à l’insolubilité une déclaration éclaircissante : la déclaration a bien été faite par quelqu’un ;
2. Clarifier la compréhension d’Aristote du prédicat « être vrai » pour éviter une situation où un énoncé implique un autre énoncé dans lequel le sujet est le nom de l’énoncé original et le prédicat est le terme « vrai ».

Au début du Nouvel Age, le « paradoxe des antipodes » a été activement résolu. Il a été prouvé empiriquement que tous les corps lourds, s’ils ne sont pas soutenus, tombent. La sphéricité et l’habitabilité de la Terre des deux côtés de l’équateur ont été confirmées, ce qui a conduit à l’antinomie des opinions en essayant de répondre à la question de savoir pourquoi les habitants de la partie opposée du globe ne tombent pas dans l’espace. La résolution du « paradoxe des antipodes » est devenue possible grâce à la révision du concept physique de la chute. Au lieu de la position erronée sur la gravitation universelle de toutes choses dans une direction, la théorie correcte sur la gravitation de toutes choses existant sur Terre vers le centre de la Terre a été avancée.

À la fin du XIXe – début du XXe siècle, les paradoxes ont fait l’objet d’une attention accrue des mathématiciens et des logiciens.

La mathématisation de l’analyse des systèmes d’objets de grande puissance (par exemple, l’ensemble des nombres réels, l’ensemble des nombres formant une fraction décimale infinie, et d’autres) a permis de comprendre la population infinie comme un objet, et l’ensemble des objets similaires – comme une nouvelle population. En 1895, B. Russell dans une lettre à G. Freguet lui a fait part de la contradiction découverte dans la théorie des ensembles de G. Kantor. Le paradoxe, découvert par Russell, a établi les contradictions internes du concept d’ensemble de tous les ensembles non paradoxaux, qui ne se contiennent pas comme un élément. Un ensemble est une généralisation d’objets d’une certaine classe ayant une propriété commune. L’ensemble lui-même peut ou non avoir la même propriété.

Il existe deux types de sets :

1. un ensemble d’individus n’est pas un individu, un ensemble de plantes n’est pas une plante, un ensemble d’étoiles n’est pas une étoile, et ainsi de suite) ;
2. des ensembles non apparentés, ou anormaux, possédant les propriétés de leurs éléments constitutifs (par exemple, un ensemble d’abstractions lui-même a la propriété d’être abstraction, un ensemble de listes est aussi une liste, un ensemble d’ensembles est aussi un ensemble, et ainsi de suite).

Russell a distingué ces ensembles comme des ensembles d’objets et des ensembles d’ensembles. En analysant le théorème de Cantor de l’ensemble de degré, Russell a distingué le concept d' »un ensemble qui n’est pas un élément en soi ». Par exemple, un ensemble de tous les ensembles ne le sera pas, et un ensemble de nombres naturels le sera. Cependant, pour une multitude d’ensembles qui ne sont pas des éléments en eux-mêmes, nous ne pouvons plus décider s’ils auront ou non la propriété de ne pas être les leurs. Les deux réponses mènent à une contradiction.

Le paradoxe de Russell est le résultat d’un examen critique des hypothèses qui sous-tendent les lois fondamentales de l’arithmétique de G. Freguet (1903). La même antinomie a été discutée simultanément par E. Zermelo et D. Gilbert. Il est intéressant de noter que le paradoxe de Russell n’a pas de caractère mathématique spécifique, ce qui est confirmé par sa reformulation en termes logiques. Chaque propriété (attribut) peut être attachée à elle-même ou non. Par exemple, la propriété « être concret » ne se réfère pas à elle-même, car c’est une abstraction, et la propriété « être abstrait » est applicable. Lorsqu’on répond à la question « Est-il possible d’être « libre » de s’attacher à soi-même ? », une situation paradoxale se présente : libre de s’attacher n’est libre que s’il est libre. Russell lui-même l’a popularisé sous la forme du « paradoxe du bordel » : « Bradobreya ne rase que les gens qui ne se rasent pas. Il se rase tout seul ? Paradoxe sémantique K. Grelling et L. Nilsson se trouvent dans une situation similaire : l’adjectif est dit autologue si la propriété qu’il désigne lui est inhérente (par exemple, « multi-complexe », « russe » etc.). Un adjectif est dit hétérologue si la propriété qu’il désigne n’y est pas inhérente (par exemple, « vert », « français », etc.). Si l’adjectif « hétérologue » est hétérologue, il est hétérologue ; s’il est hétérologue, il est hétérologue.

Le paradoxe de Russell a causé « l’effet d’une catastrophe complète » en mathématiques (selon les mots de D. Gilbert), parce que des méthodes et concepts logiques simples mais importants étaient menacés. Il est devenu clair que ni la logique ni les mathématiques n’avaient développé les moyens d’éliminer les antinomies. Il était nécessaire de rejeter radicalement les façons de penser et de théoriser habituelles et bien établies, parce qu’en termes de logique classique à deux chiffres, les situations paradoxales ne pouvaient pas être expliquées.

La clarification des concepts qui sous-tendent la théorie des ensembles, ainsi qu’une séparation claire du raisonnement menant aux antinomies, ont donné certains résultats. La plus importante est la méthode axiomatique développée par B. Russell et E. Zermelo en 1908 indépendamment l’un de l’autre. Ils reliaient la raison des paradoxes à la constitution illimitée des ensembles. Des ensembles admissibles ont été définis par le système des axiomes, formulés de telle sorte qu’aucun paradoxe connu n’en découle – Russell a proposé la théorie des types, selon laquelle le type d’objet logique est établi et selon laquelle cet objet logique occupe une place strictement définie dans la hiérarchie des « types ». Tous les objets dont nous discutons sont divisés en types. Le type zéro des objets se réfère aux individus, le premier type – propriétés et relations (caractéristiques) des individus, le second type – caractéristiques et ainsi de suite. Par exemple, Aristote, Athènes, Jupiter sont des individus. Leurs propriétés sont « d’être humain », « d’être une ville », « d’être une planète » – des objets du premier type. L’objet « être couleur » n’est plus un signe des individus, car aucun objet de type zéro n’est une couleur, mais un signe d’un signe. Une fonction logique ne peut avoir comme arguments que les objets qui la précèdent dans cette hiérarchie, c’est-à-dire que ce qui est précédé doit toujours se référer à des objets d’un type supérieur à celui des objets à précéder. Cela permet d’éviter en partie l’auto-référencement des concepts.

Traditionnellement, il est d’usage de diviser les paradoxes en paradoxes logiques et sémantiques, suivant la tradition de F. P. Ramsay. En 1926, F.P. Ramsay classe pour la première fois les paradoxes, les divisant en deux groupes :

1. paradoxes syntaxiques logiques et mathématiques qui ne contiennent pas de termes sémantiques ;
2. Paradoxes sémantiques contenant des termes sémantiques « vérité », « langage », « déterminabilité », « nommage » et autres, qui sont basés sur l’interprétation de concepts spécifiques et ne sont pas strictement mathématiques, mais plutôt liés au domaine de la sémantique logique (voir sémantique logique) et à la théorie de la connaissance.

Cependant, de nombreux paradoxes (et les plus fondamentaux) sont à la jonction de ces deux groupes. Ce sont, par exemple, le paradoxe « Menteur » et le paradoxe de Russell.

Avec le développement de la sémantique (voir Sémantique), qui définit ses concepts de base en termes de théorie des ensembles, la différence faite par Ramsay devient de moins en moins distincte. A. Tarsky a vu la raison des paradoxes sémantiques dans la fermeture sémantique des langages et l’action des lois de la logique formelle (voir logique formelle). Une langue est sémantiquement fermée si dans cette langue le nom de cette expression peut être formé pour chaque expression et s’il existe dans cette langue des prédicats sémantiques tels que « l’énoncé vrai », « x-définitions y » et autres en rapport avec les expressions de cette langue. Ce sont des langues naturelles. Les déclarations sur les propriétés sémantiques du langage objet, y compris la définition classique de la vérité, doivent être formulées non pas dans le langage lui-même, mais dans le métalangage. Il n’y a pas de frontière entre le langage et le métalangage dans un langage sémantiquement fermé. Ses riches possibilités d’expression permettent non seulement d’affirmer quelque chose sur la réalité extra-linguistique, mais aussi d’estimer la véracité de ces affirmations. Le langage sémantiquement fermé s’avère contradictoire en interne. Tout langage naturel est sémantiquement fermé. C’est avec leurs moyens que toutes les antinomies sont reproduites. Le refus d’utiliser un langage sémantiquement fermé, selon Tarsky, est le seul moyen acceptable d’éliminer les paradoxes. Dans un langage sans lien sémantique, on ne peut pas formuler une déclaration affirmant sa véracité ou sa fausseté.

L’approche originale de l’analyse des paradoxes sémantiques a été proposée par D.A. Bochvar (et S. Holden indépendamment de lui). Selon D.A. Bochvar, pour l’analyse des paradoxes, il est nécessaire d’utiliser une logique à trois chiffres avec deux types de cordes – internes avec des valeurs vraies « sans signification », « vraies » et « fausses » et externes – seulement avec des valeurs vraies « vraies » et « fausses ». La logique de D.A. Botchvar définit une seule « déclaration d’insignifiance » externe. L’analyse du paradoxe consiste à prouver l’insignifiance de la formule paradoxale, c’est-à-dire l’affirmation que cette formule est dénuée de sens.

Une nouvelle classe de paradoxes à la limite de la sémantique, parce que le concept de déterminabilité est utilisé, a été découverte par J. Berry, qui a introduit la complexité de l’objet. Le paradoxe du Berry est formulé comme suit : « Par conséquent, seul un nombre fini de nombres naturels peut être déterminé ; il y a donc le plus petit nombre n0, non défini ainsi ; mais la phrase « Le plus petit nombre, non défini par une phrase contenant moins de cent caractères » contient moins de cent caractères et définit n0. La conception de paradoxe de Berry est utilisée intensivement dans la théorie moderne de la complexité pour prouver la difficulté de résoudre des problèmes. Il est pratiquement réduit au principe scientifique général selon lequel le système ne peut être pleinement compris que par le système, d’un ordre de grandeur plus complexe.

Les paradoxes sémantiques ont joué un rôle majeur dans le développement de la logique, car la nécessité de les analyser a conduit à la construction d’outils méta logiques et à la détermination correcte du prédicat de vérité des langages formalisés. En général, les paradoxes sémantiques sont éliminés en raison de la division claire du langage et de la description de ses propriétés sémantiques du métalangage. Cependant, cela n’est possible que dans le cas de langues artificielles et formalisées qui permettent une division claire entre langue et métalangage. La question de la cohérence interne des langues naturelles avec leur structure floue et la possibilité d’exprimer n’importe quoi, y compris les paradoxes, n’a aucun sens.

Les paradoxes résultant de l’application du principe d’interchangeabilité dans différents contextes linguistiques sont appelés antinomies des relations de nommage. Les exemples classiques de l’antinomie de la relation de nommage sont le paradoxe de W. Cuaine : « D’après les hypothèses « Logiquement, il est nécessaire que neuf plus que sept » et « Il y a neuf planètes dans le système solaire » sur la base du principe d’interchangeabilité est une fausse conséquence du « Logiquement, il est nécessaire que le nombre des planètes dans le système solaire plus que sept ». Évidemment, il n’y a pas de nécessité logique dans ce cas. Par la suite, la conception de ce paradoxe est utilisé dans la preuve du théorème X. G. Riz sur l’insolvabilité des propriétés non négligeables des fonctions calculées (les seules propriétés des fonctions calculées qui peuvent être définies par le programme – identique vrai et identique faux) et théorèmes sur l’impossibilité des prédicteurs exactes non négligeables, c’est-à-dire les oracles qui ne se trompent pas, ne disent qu’une vérité ou un mensonge. Ce paradoxe a joué un rôle stimulant significatif dans le développement de questions subtiles de logique modale avec égalité (voir Logique modale).

Un groupe spécial d’antinomies de nommage des relations est constitué de paradoxes surgissant dans des contextes avec des attitudes propositionnelles-épisystémiques « je sais quoi », « je crois que », « je crois que », « je crois que » et autres. Par exemple, « X croit que Prague est la capitale de la Slovaquie. Mais on sait que Prague est la capitale de la République tchèque. Selon le principe de l’interchangeabilité, on obtient « X croit que la capitale tchèque est la capitale de la Slovaquie », mais X ne le pense pas. Les explications les plus célèbres du paradoxe du nommage sont les concepts de sens et de signification de G. Freguet, la théorie des descriptions de B. Russell, la méthode d’extension et d’intensification de R. Karnap, ainsi que les concepts de mondes possibles de R. Montague et D. Scott, qui sont le développement ultérieur de la méthode de l’extension et l’intensification. Les concepts de « dénothat » et de « signification » correspondant aux principes de la théorie des noms dans le concept Freguet dépendent du contexte. Chez Freguet, le sens de l’expression dans le contexte extensionnel habituel devient une note dans le contexte intensif (indirect). Russell est parti de l’idée que les noms des objets empiriques sont des descripteurs logiques abrégés qui désignent les objets non pas en pointant vers l’objet défini (l’utilisation de termes empiriques, dont le sens est défini de façon intensive, devrait être strictement limitée dans le langage de signification générale), mais au moyen de la description théorique de cet objet. Les structures de descriptions logiques ne comprennent que des termes théoriques. Les antinomies des relations de nommage résultent d’un mélange implicite de termes dont le sens n’est pas identique. Selon le principe de l’interchangeabilité, Karnap appelait les relations de nommage antinomies l’état actuel des choses. Il a remplacé la méthode Freguevan de nommage par la méthode d’intensification (contenu) et d’extension (volume).

Les antinomies ne se produisent pas dans des contextes extensifs, dont les valeurs dépendent uniquement des dénotes (valeurs sujet) utilisées. Pour les contextes intensifs, dont le sens dépend de la signification des noms qui y sont utilisés, le principe généralement admis de l’interchangeabilité des noms s’avère illégal. A l’heure actuelle, on ne trouve pas le critère qui permettrait de distinguer le contexte intensif du contexte d’extension. Les principales catégories de sémantique logique de Karnapa et les concepts d’équation et d’intensification sont introduits sur la base de la distinction entre équivalence I et équivalence L. Deux expressions (énoncés, noms, prédicteurs) sont équivalentes si et seulement si elles ont la même équation et L-équivalent si et seulement si elles ont la même intensification. La condition nécessaire à l’interchangeabilité des expressions est l’identité de leurs équations – valeurs logiques et intensités – des jugements qu’elles expriment.

Le concept d’intensification n’est pas une clarification adéquate du concept de « sens » de Freguev. La sémantique des mondes possibles (voir Sémantique des mondes possibles), assumée par le concept d’intensification, nécessite une clarification des conditions pour la préservation du sens et des conditions de vérité. Les mondes possibles (le concept remonte à la philosophie de G. V. Leibnitz) sont tous des états de choses concevables et mutuellement cohérents concernant tous les objets et leurs états (voir Mondes possibles). L’ensemble des circonstances dont dépend la véracité de la déclaration (l’état de la situation à différents moments, à différents endroits, avec différentes personnes, etc.) Montague et Scott ont été appelés points de corrélation. Montague a souligné leur « caractère pragmatique et a attribué l’interprétation de ces contextes au domaine de la pragmatique ». Е. D. Smirnova précise que ces facteurs peuvent être  » à la fois objectifs (temps, lieu, etc.) et liés au(x) sujet(s), c’est-à-dire avoir un caractère pragmatique « . Le système de la logique classique considère les conclusions des déclarations, dans lesquelles la présence de certaines situations de caractère réel est affirmée ou niée. Les particularités de ces déclarations sont leur caractère extrême et leur ambiguïté.

Le caractère extensif des déclarations signifie que le sens véridique de la déclaration ne dépend pas du contenu des termes qu’elles contiennent, mais seulement de leur signification substantielle (dénote). La signification d’un énoncé complexe n’est déterminée que par les valeurs véridiques des énoncés qui le composent. Le lien conditionnel forme des contextes intensifs, c’est-à-dire l’énoncé du formulaire « Si A, alors B » n’est vrai qu’en présence d’un certain lien entre les situations A et B, indépendamment des significations véridiques acceptées par les énoncés A et B.

Les paradoxes logiques sont souvent interprétés par les lois de l’implication matérielle – « tout découle d’un mensonge », et « la vérité découle de n’importe quoi », car ils permettent d’obtenir des formules A → B, dans lesquelles A et B ne sont liés en aucun sens. L’implication matérielle est extrême, c’est-à-dire que la forme logique « A → B » est vraie lorsqu’elle est fausse A ou vraie B, qu’il y ait un lien entre les situations A et B. C’est pourquoi des affirmations telles que, par exemple, « Si l’herbe est verte, alors la fonction continue est différentiable », « Si les gens étaient sur Mars, alors la fonction continue est différentiable » sont vraies. De telles situations sont appelées paradoxes de l’implication matérielle. L’implication matérielle ne peut être considérée comme un lien conditionnel. Par conséquent, se pose le problème de l’explication de la relation de la connexion conditionnelle – l’un des problèmes résolus par la logique pertinente. De plus, il faut noter le paradoxe de l’omniscience logique : si nous connaissons A et A → B, nous connaissons B. Par conséquent, nous connaissons toutes les conséquences de nos connaissances, et en particulier toutes les tautologies logiques, ce qui est impossible, car leur ensemble est infini (et même insoluble pour le langage logique prédicat). Les paradoxes du suivi, de l’application matérielle et de l’application stricte sont appelés paradoxes de la pertinence en raison du fait que les liens entre les énoncés qu’ils affirment n’affirment pas réellement le lien dans le contenu, c’est-à-dire que l’exigence de pertinence est violée dans les formules de ces types d’énoncés.

Outre les paradoxes de la pertinence, on distingue les paradoxes de la modalité (A. R. Anderson et N. D. Belnap), dans lesquels la nécessité est la conséquence d’une simple déclaration fixant les faits. Il s’agit d’expressions du genre (A → (B → C), où A est une déclaration arbitraire reflétant l’état actuel des choses, mais ne contenant pas le lien « → ». Sous-formule B → C est une déclaration de caractère nécessaire sur la présence d’une séquence entre B et C. Sa véracité ne peut pas dépendre de circonstances aléatoires, puisque la relation entre la suite n’est conditionnée que par des formes logiques d’énoncés. La sous-formule A peut exprimer l’instruction réelle. Dans ce cas, la nécessité ne peut être une conséquence d’une situation factuelle. Dans la logique de la confirmation, développée dans le cadre de la logique probabiliste, il existe un certain nombre de difficultés logiques, appelées paradoxes de la confirmation. Le plus célèbre est le paradoxe des corbeaux de Hempel. L’hypothèse « Tout A est B » confirme la présence d’objets ayant la propriété A et la propriété B. Par exemple, plus on rencontre de corbeaux noirs, plus il y a de raisons d’accepter l’hypothèse « Tous les corbeaux noirs ». L’hypothèse « Tous les sujets noirs ne sont pas des corbeaux » est logiquement équivalente à l’hypothèse initiale (elle est reçue par une contraposition partielle – versions d’une conclusion syllogistique immédiate d’une hypothèse initiale et s’avère être une véritable observation de tout objet noir, par exemple une botte blanche. Mais comme deux hypothèses sont logiquement équivalentes, elles doivent être confirmées par des faits identiques. Ainsi, l’observation d’une botte blanche confirme l’hypothèse que tous les corbeaux sont noirs.

Ces anomalies ont servi de stimulus pour le développement d’une logique modale, paranoïaque, épistémique et pertinente, dans laquelle ces paradoxes sont partiellement surmontés. En fait, il est impossible de les surmonter complètement, car toute formalisation réussie est une forte simplification.

Le développement des méthodes logiques modernes a conduit à de nouveaux paradoxes logiques. Par exemple, L.E.Y.Brauer a souligné le paradoxe suivant de l’existence classique : dans toute théorie classique suffisamment forte, il existe une formule éprouvée du genre ∃хA(x), pour laquelle il est impossible de construire un t concret, qui est prouvé par A(t). En particulier, il est impossible de construire un modèle non standard de nombres réels dans la théorie des ensembles, bien qu’il soit possible de prouver l’existence de tels modèles. Ce paradoxe montre que les concepts d’existence et les possibilités de construction sont irréversiblement différents en mathématiques classiques.

De plus, les modèles non standard qui exigeaient une distinction explicite entre langage et métalangage ont conduit au paradoxe suivant : « Un ensemble de tous les nombres réels standard fait partie d’un ensemble fini non standard. Ainsi, l’infini peut faire partie du fini. Ce paradoxe contredit fortement la compréhension habituelle du rapport entre le fini et l’infini. Elle repose sur le fait que la propriété « être standard » appartient au métalangage, mais peut être interprétée avec précision dans un modèle non standard. Par conséquent, dans un modèle non standard, on peut parler de la véracité et de la fausseté de tout énoncé mathématique, y compris le concept de  » ne pas être standard « , mais ils n’ont pas à préserver les propriétés du modèle standard, sauf pour les tautologies logiques. Ce paradoxe est devenu la base de la théorie des demi-ensembles, dans laquelle les classes peuvent être des sous-classes d’ensembles.

Parce que les paradoxes révèlent des contradictions conceptuelles cachées et les traduisent en contradictions directes et ouvertes, ils aident généralement au développement de nouvelles idées, concepts et théories. Le paradoxe en tant que contradiction absolue peut facilement surgir en théorie scientifique (voir Théorie), si les fondements logiques de cette théorie ne sont pas suffisamment étudiés et pas complètement révélés. Le rôle négatif du paradoxe dans la science est qu’il révèle l’inadéquation de la théorie dans laquelle il a été obtenu, montrant ainsi que l’ensemble de ses hypothèses initiales doit être rejeté. De plus, les règles logiques permettent le plus souvent de déduire de la contradiction toute phrase de la théorie, ou du moins la négation de toute phrase, qui dévalorise la notion même de preuve en théorie. Par conséquent, en relation avec chaque théorie d’intérêt logique, il se pose un problème – la libération de la théorie des paradoxes, c’est-à-dire, lui donner une forme sous laquelle ils ne peuvent se présenter (la preuve de ce fait est la preuve de la cohérence de la théorie), ou une forme sous laquelle il est pratiquement impossible d’obtenir une contradiction (en raison de la difficulté de trouver la preuve de cohérence est souvent satisfait avec ce deuxième type de solution au problème de libération de la théorie des paradoxes, mais le premier, naturellement, est préférable). Ainsi, la solution à ce problème, prévue pour une théorie choisie arbitrairement, peut inclure (et inclut habituellement) un remplacement préliminaire de cette théorie par une autre qui lui est suffisamment proche dans son but ou son contenu, mais avec des bases logiques plus ou moins développées (car dans sa version initiale toute théorie complexe est généralement loin de la perfection logique et s’en approche, ce qui signifie, au moins grâce aux tentatives pour l’éliminer ; ceci, soit dit, est la valeur positive du paradoxe dans les paradoxes logiques). Les hypothèses initiales de la théorie (souvent appelées postulats ou axiomes, bien qu’une théorie stricte ne doive pas nécessairement être construite selon la méthode axiomatique) ayant été suffisamment révélées, certaines d’entre elles doivent souvent être abandonnées afin d’éviter des paradoxes. Étant donné qu’un rejet complet des hypothèses initiales entraînerait la destruction totale de la théorie, le rejet des hypothèses nécessaires s’accompagne généralement de l’adoption d’autres hypothèses capables de jouer le même rôle utile dans la théorie que les hypothèses rejetées. Ainsi, sous l’influence de paradoxes détectables, les théories scientifiques sont clarifiées. La notion même de preuve est également clarifiée – de sorte que le raisonnement qui a conduit au paradoxe à un stade précoce du développement de la théorie n’y conduit plus à un stade ultérieur de ce développement. C’est pourquoi le mot « paradoxe » est souvent utilisé de manière conditionnelle ou figurative, non seulement dans le langage courant, mais aussi dans les discours à caractère scientifique.